Objek Matematika

A.  Jenis Objek Matematika.

Sebagaimana telah disebutkan di atas, salah satu karakteristik yang  mudah dikenali pada matematika adalah bahwa matematika memiliki objek kajian yang  abstrak. Sifat abstrak inilah yang sering menjadi masalah tersendiri bagi peserta didik. Mereka menganggap bahwa matematika sebagai pelajaran yang sulit untuk dimengerti. Hal yang demikian ini sekaligus merupakan tantangan bagi guru maupun calon guru matematika di manapun kelak mereka akan mengajar. Demikian pula dengan orang tua yang mendampingi belajar sang anak ketika di rumah. Oleh karena itu, menjadi perlu kiranya bagi orang tua, guru dan calon guru matematika untuk mendalami objek dasar pada matematika. Dalam kaitan dengan objek matematika itulah, maka berikut ini diketengahkan beberapa pendapat tentang objek tersebut.

Bell (1981: 108) mengemukakan bahwa “the direct objects of mathematics learning are facts, skills, concepts, and principles”. Sedangkan Tim Pengembang Silabus (tt: 45), dan Mulyono Abdurrahman (2003: 38) mengklasifikasikan materi matematika dalam empat objek pula, yakni : fakta, konsep, prinsip, dan prosedur. Sementara Begle (1979: 6) menyatakan “the four kinds of mathematical objects are: a) facts, b) concepts, c) operations, d) principles”. Dari empat pandangan tersebut di atas ada tiga kesamaan pendapat tentang objek suatu pelajaran, termasuk pada pelajaran matematika, yakni obyek fakta, konsep, dan prinsip. Namun ada satu objek yang disebut dalam tiga istilah yaitu : skill, prosedur, dan operasi. Ada indikasi bahwa ketiga hal tersebut merupakan satu rangkaian objek.      

Menurut pendapat Winkel (1991: 245), pada umumnya suatu prosedur diajarkan sebelum keterampilan ( skill ) dikuasai. Ini berarti bahwa prosedur merupakan bagian tahapan dari pencapaian penguasaan skill. Karso (1993: 99) juga mengemukakan bahwa suatu keterampilan ( skill ) dalam matematika adalah kemampuan siswa untuk menjalankan prosedur-prosedur dan operasi-operasi dalam matematika secara tepat, cermat dan benar. Pendapat ini mempertegas hubungan dan kedudukan antara skill, prosedur, dan operasi. Dua pandangan sebagaimana yang disebut terakhir  menunjukkan  bahwa  prosedur dan operasi keduanya merupakan bagian dari objek skill. Oleh karena itu untuk pembahasan selanjutnya akan digunakan istilah skill sebagai  salah  satu  bagian  saja   dari  objek  matematika ,  dengan  alasan  bahwa  di dalam skill sudah tercakup  tentang  kemampuan menjalankan operasi  dan  prosedur. Jadi berdasarkan uraian di atas, dapat dikatakan bahwa  objek  matematika  terdiri atas 4 hal, yakni : fakta,  konsep,  prinsip, dan  skill.

B.   Pengertian dan Kategorisasi

1.        Fakta

    Fakta matematika adalah kesepakatan - kesepakatan yang diwujudkan dalam bentuk simbol matematika (Bell, 198: 108). Kemudian menurut Begle (1979: 6), ada dua jenis objek fakta dalam matematika yaitu, a) fakta yang beraturan (not arbitrary facts), dan b) fakta yang tidak beraturan ( arbitrary facts),. Fakta yang pertama dapat secara mudah dihafalkan seperti misalnya “5” adalah simbol dari konsep bilangan lima. Demikian pula simbol “f(x)”, “g(x)”, dan “h(x)”, masing-masing merupakan simbol dari sebuah fungsi nilai dalam variabel x, dan “(a, b)” adalah simbol dari pasangan berurutan. Fakta untuk jenis yang kedua ini, dapat diperoleh dari beberapa  fakta lain, misalkan 7 x 8 = 56. Penulisan fakta dengan simbol 7 x 8 ini  dapat  pula  dinyatakan  dalam  bentuk  lain  seperti ; 7 x 8 = (6 x 8) + (1 x 8) = 56. Dan masing-masing bagian dari fakta tersebut dapat berdiri sendiri sebagai sebuah fakta. Demikian pula 2 + 3 = 5 dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan, sebagaimana disajikan pada Gambar 1 di berikut ini.

 

                              +                         =

Gambar 1

Skema Penjelasan Fakta dalam Bentuk Diagram Venn

Dan sering pula dijumpai notasi (f o g)(x) = h(x) merupakan simbol dari fungsi g(x) dilanjutkan fungsi f(x), dan menghasilkan fungsi h(x).

Hampir sebagian besar dalam sistem matematika diwujudkan dalam bentuk  fakta, khususnya yang berhubungan dengan simbol yang digunakan dalam sistem tersebut. Tim Pengembang Silabus, (tt: 47) menggolongkan materi jenis fakta antara lain nama objek, nama lambang, nama tempat, nama bagian atau komponen suatu benda. Fakta juga dapat berupa lambang, simbol, notasi, atau tanda. Jadi fakta menyangkut masalah nama, perlambangan, atau notasi, atau simbol, atau tanda, yang  digunakan  dalam  sebuah  sistem matematika. Fakta akan sangat bermanfaat dalam matematika jika keberadaannya dimaknai dengan benar, sehingga dapat memperjelas suatu objek yang abstrak, tetapi sebaliknya apabila keliru dalam memaknai suatu fakta, justru akan dapat  menyebabkan salah tafsir terhadap suatu objek. Kesalahan tafsir dalam pemaknaan dari simbol-simbol yang digunakan untuk mengidentifikasi suatu objek dalam matematika ini, dapat menyebabkan penafsiran yang salah. Dan apabila penafsiran yang salah tersebut diterapkan atau digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika, maka dapat dipastikan tidak akan dapat menyelesaikan masalah tersebut, yang pada akhirnya dapat menimbulkan kesulitan belajar matematika.

2.        Konsep

Suatu konsep akan mengungkapkan abstraksi yang terbentuk oleh generalisasi dari hal-hal yang khusus (Kerlinger, 2004: 48). Dalam matematika, suatu konsep merupakan ide abstrak yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan ide, gagasan, atau peristiwa, dan sekaligus untuk mengklasifikasikan ide, gagasan atau peristiwa tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide yang abstrak tersebut (Bell, 1981: 108). Misalnya konsep tentang himpunan, persamaan, pertidaksamaan, segitiga, kubus, fungsi, variabel, matriks, vektor, dan sebagainya. Menurutnya, ada tiga tipe konsep matematika yaitu: 1) konsep matematika murni (pure mathematical concepts), 2) konsep notasi (notation concepts), dan 3) konsep terapan (applied concepts).

a.     Konsep matematika murni

Konsep matematika murni adalah kesepakatan yang mengklasifikasikan suatu ide dan relasi antara ide-ide tersebut, yang sama sekali tidak tergantung pada bagaimana cara ide itu disajikan. Misalnya, ide tentang bilangan enam, dapat disajikan dengan simbol “VI” dalam angka Romawi,  atau “٦” dalam tulisan Arab, atau “llll l” dalam bentuk turus, atau “110” dalam basis 2, atau ditulis “6” dalam angka arabi, semua itu merupakan konsep bilangan enam. Demikian pula konsep segi empat, dapat disajikan dalam bentuk persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, belah ketupat, maupun trapesium, atau segi empat sembarang. Untuk contoh yang bukan matematika, beberapa benda di sekeliling kita, misalkan kursi. Ada kursi belajar, kursi tamu, kursi goyang, kursi roda, kursi mobil, kursi tahta kerajaan, dan sebagainya. Ketika konsep tentang kursi sudah didapatkan, maka kita akan dengan mudah mengatakan bahwa benda yang lain bukan termasuk kursi, atau termasuk kursi.

b.     Konsep notasi

Konsep notasi adalah kesepakatan yang mengklasifikasikan mengenai suatu ide yang merupakan konsekuensi langsung atas bagaimana ide tersebut disajikan. Misalkan notasi ”7” dalam bilangan  yang dinotasikan dengan ”725”,  artinya 7 ratusan. notasi ”7” dalam bilangan yang dinotasikan dengan ”473”, artinya adalah 7 puluhan, dan notasi ”7” pada bilangan yang dinotasikan dengan ”867”, artinya, 7 satuan. Notasi ”7” yang pertama bernilai 700, notasi “7” yang kedua bernilai 70, dan notasi “7” yang ketiga bernilai 7 sebagai satuan. Ini merupakan penempatan notasi untuk menyajikan bilangan dalam sistem basis sepuluh.

c.     Konsep terapan

Konsep terapan adalah penerapan konsep matematika murni dan konsep notasi untuk menyelesaikan masalah matematika dan bidang studi lain yang berhubungan. Misalnya konsep untuk operasi penjumlahan pada bilangan bulat : lima puluh ditambah seratus dua puluh lima dapat ditilis ”50 + 125 = 175”.  Ada nilai tempat puluhan dan satuan pada bilangan 50, yang dijumlah (dalam konsep himpunan adalah digabung) dengan bilangan 125.

Tim Pengembang Silabus (tt: 47), memberikan rincian bahwa yang termasuk dalam materi konsep antara lain pengertian, dan  definisi, demikaian pula batasan. Dari suatu definisi atau pengertian atau batasan akan didapatkan abstraksi dari sebuah ide atau gagasan, dan unsur-unsur yang membentuknya, hingga mengarah pada identifikasi secara khusus.

3.        Prinsip

Prinsip adalah hubungan antara objek matematika yang satu dengan objek yang lainnya (Bell, 1981: 109). Hubungan antar konsep, misalkan konsep tentang kecepatan dengan konsep tentang waktu, akan melahirkan konsep jarak. Dalam bentuk hubungan antar fakta dapat dituliskan sebagai S = V x t. Formulasi tersebut merupakan contoh suatu prinsip. Tim Pengembang Silabus (tt: 47) mengemukakan bahwa prinsip matematika salah satunya dapat diwujudkan dalam bentuk aksioma. Karena itu matematika sering disebut pula sebagai sistem aksiomatik. Sebagai contoh, dua buah segitiga dikatakan sama dan sebangun (kongruen) apabila dua buah sisi dan besar sudut apitnya pada segitiga yang satu, sama dengan dua buah sisi dan besar sudut apitnya yang ada pada segitiga yang lainnya. Pernyataan ini meliputi beberapa konsep dan hubungan antar konsep-konsep tersebut. Untuk mengetahui prinsip tentang kongruen harus mengetahui lebih dahulu konsep tentang sisi, sudut, dan konsep segitiga. Contoh lain misalkan pada Dalil Phytagoras berlaku aturan bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi yang lainnya. Apabila a dan b masing-masing merupakan sisi-sisi tegaknya, sedangkan c adalah sisi miring pada segitiga siku-siku tersebut, maka akan berlaku suatu prinsip bahwa a² + b² = c² . Dan masih banyak contoh yang lain.

Suatu sistem aksioma yang diikuti oleh teorema-teorema yang diturunkan dari padanya akan membentuk suatu struktur, yaitu suatu sistem  yang  di  dalamnya  memuat  adanya  hubungan  yang  hirarkis (R. Soedjadi, 2000: 20). Dalam struktur matematika itulah terdapat konsep primitif (undefined term), aksioma-aksioma, konsep-konsep yang didefinisikan, dan teorema-teorema.

4.  Skill

     Skill adalah operasi dan prosedur dimana siswa dan para matematikawan diharapkan dapat melakukan prosedur tersebut dengan cepat dan tepat. Skill merupakan kemampuan yang memuat sejumlah intruksi atau aturan yang tersusun dalam prosedur khusus yang disebut dengan istilah algoritma yaitu suatu prosedur atau metode untuk memperoleh hasil (Bell, 1981: 108). Dengan kata lain algoritma adalah cara untuk memperoleh hasil dengan menerapkan berkali-kali operasi atau sekelompok langkah yang pasti, sedemikian rupa sehingga sebuah unsur yang didapat dari satu kali menerapkan operasi itu dipakai lagi paling kurang satu kali dalam terapan berikutnya sampai diperoleh hasil yang diharapkan (Karso, 1994: 71). Satu kemampuan menyelesaikan masalah dalam matematika dapat dimodifikasi dalam beberapa pertanyaan, yang pertanyaan-pertanyaan tersebut sesungguhnya hanya merupakan konsep yang sama. Dalam hal seperti ini diperlukan keterampilan yang bukan sekedar hafalan prosedur yang telah dijalankan. Oleh karena itulah penguasaan prosedur yang kuat amat diperlukan. Prosedur tersebut harus didasarkan  pada pengertian, dan bukan sekedar memori hafalan belaka seperti dikemukakan oleh Sobel, (1970: 291). Selanjutnya ia berpendapat bahwa untuk membangun penguasaan prosedur yang kuat, digunakan sarana berupa latihan soal, yang sekaligus menambah pemahaman terhadap arti dan pengertian dari objek fakta, konsep, dan prinsip.

C.  Hubungan antara Fakta, Konsep, Prinsip, dan Skill.

      Herman Hudoyo (1988: 172) menjelaskan bahwa setelah konsep dipelajari, maka segeralah diberikan latihan baik dengan cara lisan, tulisan, ataupun diagram. Ini artinya objek matematika yang berupa fakta mestinya diajarkan sebelum penanaman konsep, baru kemudian skill yang diwujujdkan dalam bentuk latihan. Prinsip merupakan hubungan antara beberapa konsep, hal ini berarti bahwa prinsip diajarkan setelah konsep dipahami terlebih dulu. Jadi secara logis urutan pembelajaran objek matematika adalah fakta, konsep, prinsip, dan baru kemudian skill. Namun demikian menurut penulis, tidak tertutup kemungkinan konsep diajarkan terlebih dahulu dari pada fakta. Hal tersebut bergantung pada usia dan perkembangan mental dari peserta didik yang ada. Dan mungkin juga bergantung dari materi yang akan disajikannya. Pada usia SD pengajaran matematika lebih cenderung diawali dengan fakta, karena pada usia tersebut anak masih membutuhkan hal-hal yang kongkrit. Sebaliknya pada tingkat SLTA dan perguruan tinggi pembelajaran matematika dapat dimulai dari konsep terlebih dulu. Namun secara umum dapat dikatakan bahwa hubungan antara fakta, konsep, prinsip dan skill merupakan hubungan hirarkis. Pemahaman terhadap suatu konsep tertentu menjadi prasyarat bagi penggunaan sebuah prinsip tertentu pula, dan begitu seterusnya. Pemahaman suatu prinsip tertentu juga dapat menjadi prasyarat bagi penggunaan prinsip berikutnya, atau prinsip yang lain. Artinya objek yang satu, kadang menjadi prasyarat untuk memahami objek yang lain.

Pemahaman tentang objek matematika yang abstrak ini, bagi seorang calon guru matematika maupun bagi para guru yang sekarang telah mengampu pelajaran matematika, serta orang tua merupakan hal yang penting, sebagai bekal mengajarkan, membimbing, dan mengarahkan siswa dalam belajar matematika tentunya. Dengan kefahaman tersebut, guru juga dapat segera melakukan identifikasi terhadap siswa untuk meminimalisir akan terjadinya gejala kesulitan belajar matematika.